ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ

ପ୍ରମାତ୍ର ପରିସଂଖ୍ୟାନ ଅନୁସାରେ ଉଷ୍ମାଗତିକ ସନ୍ତୁଳନ (ଈଂରାଜୀରେ Thermodynamic Equilibrium)ରେ ରହିଥିବା ଏବଂ ପରସ୍ପରକୁ ପ୍ରଭାବିତ କରୁନଥିବା କଣିକାମାନେ କେଉଁ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଶକ୍ତି ଅବସ୍ଥା ପ୍ରାପ୍ତ କରିପାରିବେ ତାହା ଦୁଇଟି ଉପାୟରେ ନିରୂପିତ ହୋଇପାରେ । ଏହି ଦୁଇଟି ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଦିଗ ମଧ୍ୟରୁ ଗୋଟିଏ ହେଲା - ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ (ଈଂରାଜୀରେ Bose–Einstein Statistics ବା B–E Statistics) । ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ପାଳନ ବା ଅନୁସରଣ କରୁଥିବା ଓ ଏକ ପ୍ରକାରର ଶକ୍ତି ଅବସ୍ଥାରେ ରହିଥିବା କଣିକାମାନଙ୍କ ଏକତ୍ରିକରଣ ଯୋଗୁଁ ଲେଜର୍ ଆଲୋକର ସମ୍ମିଳିତ ପ୍ରବାହ ଓ ଅତିତରଳ ହିଲିୟମର ଘର୍ଷଣହୀନ ପ୍ରବାହ ପରି ପ୍ରଭାବ ପରିଦୃଷ୍ଟ ହୁଏ ।  କଣିକାମାନଙ୍କର ଏପରି ବ୍ୟବହାର ୧୯୨୪-୨୫ ମସିହାରେ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ନାଥ ବୋଷଙ୍କଦ୍ୱାରା ଆବିଷ୍କୃତ ହୋଇଥିଲା । ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ଜାଣି ପାରିଥିଲେ ଯେ ଏକ ଓ ଅଭିନ୍ନ ଦିଶୁଥିବା କଣିକାମାନେ ଏହିଭଳି ବିନ୍ୟାସରେ ରହିପାରିବେ । ଏହି ଭାବନାକୁ ଆଇନଷ୍ଟାଇନ୍ ଗ୍ରହଣ କରିଥିଲେ ଓ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ରଙ୍କ ସହ ମିଳିତ ଉଦ୍ୟମରେ ଏହାର ପ୍ରସାର କରିଥିଲେ । 

ପଲିଙ୍କ ଏକାନ୍ତିକ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ (ଈଂରାଜୀରେ Pauli Exclusion Principle) ଅନୁସାରେ ଦୁଇଟି କଣିକା ଉଷ୍ମାଗତିକ ସନ୍ତୁଳନରେ ରହିଥିଲା ବେଳେ ସେମାନଙ୍କ ସମସ୍ତ ପ୍ରମାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ସମାନ ହୋଇପାରିବ ନାହିଁ । ଦୁଇଟି କଣିକାର ତିନୋଟି ପ୍ରମାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ଏକା ହୋଇପାରେ କିନ୍ତୁ ସେମାନଙ୍କ ଚତୁର୍ଥ ପ୍ରମାତ୍ର ସଂଖ୍ୟା ନିଶ୍ଚିତ ଭାବେ ଅଲଗା ହେବେ । ପଲିଙ୍କ ଏକାନ୍ତିକ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଅନୁସରଣ କରୁନଥିବା କଣିକାମାନଙ୍କ ଶକ୍ତି ଅବସ୍ଥା ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ମାଧ୍ୟମରେ ନିରୂପଣ କରାଯାଏ ।  ଏପରି କଣିକାମାନଙ୍କର ଆଭ୍ୟନ୍ତରୀଣ ଆବର୍ତ୍ତନର ମାପ ଏକ ପୂର୍ଣ୍ଣସଂଖ୍ୟା ହୋଇଥାଏ ଓ ଏମାନଙ୍କୁ “ବୋଜୋନ୍” ବା "ବୋଷନ୍" କୁହାଯାଏ ।

ସିଦ୍ଧାନ୍ତ

ନିମ୍ନ ତାପମାତ୍ରାରେ ବୋଜୋନ୍ କଣିକାମାନଙ୍କ ପ୍ରକୃତି ଫର୍ମିୟନଠାରୁ ଭିନ୍ନ । ଫର୍ମିୟନ୍ ସାଧାରଣତଃ ଫର୍ମି-ଡିରାକ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ଅନୁସରଣ କରନ୍ତି । ନିମ୍ନ ତାପମାତ୍ରାରେ ଅସୀମ ସଂଖ୍ୟକ ବୋଜୋନ୍ ଘନୀଭୂତ ହୋଇ ସମାନ ଶକ୍ତି ଅବସ୍ଥାରେ ରହିପାରନ୍ତି । ଏପରି ବିଶେଷ ପ୍ରକୃତିବିଶିଷ୍ଟ ପଦାର୍ଥମାନଙ୍କୁ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ଘନପଦାର୍ଥ (ଈଂରାଜୀରେ Bose–Einstein Condensate) ବୋଲି କୁହାଯାଏ ।  ପ୍ରମାତ୍ରିକ ପ୍ରଭାବ ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବା ଦରକାରୀ ହେଲେ ଓ କଣିକାମାନେ ପରସ୍ପରଠାରୁ ଅଭିନ୍ନ ମନେହେଲେ, ଫର୍ମି-ଡିରାକ୍ ଓ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ଉପଯୋଗ କରାଯାଏ । କଣିକାମାନଙ୍କର ଘନୀକରଣ ଯୋଗୁଁ ନିମ୍ନ ପ୍ରଦତ୍ତ ଅବସ୍ଥା ସୃଷ୍ଟି ହେଲେ ପ୍ରମାତ୍ର ପ୍ରଭାବ ଦେଖାଯାଏ ।

$\frac{N}{V}\ge n_q,$

ଏଠାରେ N ହେଉଛି କଣିକାମାନଙ୍କର ସର୍ବମୋଟ ସଂଖ୍ୟା, V ହେଉଛି ଘନଫଳ ଓ ଛାଞ୍ଚ:Math ପ୍ରମାତ୍ର ସଂକେନ୍ଦ୍ରଣ (Quantum Concentration) । କଣିକାମାନଙ୍କ ମଧ୍ୟରେ ଦୂରତା ତାପୀୟ ଡି ବ୍ରୋଗଲି ତରଙ୍ଗଦୈର୍ଘ୍ୟ (ଈଂରାଜୀରେ Thermal de Broglie Wavelength) ସହିତ ସମାନ ହେଲେ ସେମାନଙ୍କ ତରଙ୍ଗଫଳ ପରସ୍ପର ଉପରେ ଅଧିବ୍ୟାପ୍ତ ହୁଅନ୍ତି ନାହିଁ ଓ ପ୍ରମାତ୍ର ସଂକେନ୍ଦ୍ରଣ ପ୍ରଭାବ ସୃଷ୍ଟି ହୁଏ ।

ପଲିଙ୍କ ଏକାନ୍ତିକ ସିଦ୍ଧାନ୍ତ ଅନୁସରଣ କରୁଥିବା ଫର୍ମିୟନ୍ କଣିକାମାନ ଫର୍ମି-ଡିରାକ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ମଧ୍ୟ ସମର୍ଥନ କରନ୍ତି । ବୋଷ୍-ଆଇନଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ବୋଜୋନ୍ କଣିକାମାନଙ୍କ ପାଇଁ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ । ପ୍ରମାତ୍ର ସଂକେନ୍ଦ୍ରଣ ତାପମାତ୍ରା ଉପରେ ନିର୍ଭରଶୀଳ । ଅଧିକ ଘନତ୍ୱବିଶିଷ୍ଟ ଶ୍ୱେତ ବାମନ ନକ୍ଷତ୍ର ବ୍ୟତୀତ ଉଚ୍ଚ ତାପମାତ୍ରାରେ ପାରମ୍ପରିକ ମାକ୍ସୱେଲ୍-ବୋଲ୍ଜମ୍ୟାନ୍ ସୀମା ମଧ୍ୟରେ ରହିଥାନ୍ତି । ଫର୍ମି- ଡିରାକ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ଓ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ଉଚ୍ଚ ତାପମାତ୍ରା ବା କମ୍ ସଂକେନ୍ଦ୍ରଣରେ ମାକ୍ସୱେଲ୍-ବୋଲ୍ଜମ୍ୟାନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନରେ ପରିଣତ ହୁଅନ୍ତି ।

୧୯୨୪ ମସିହାରେ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ନାଥ ବୋଷ୍ ଫୋଟୋନ୍ମାନଙ୍କ ପାଇଁ ଏହି ପରିସଂଖ୍ୟାନ ପ୍ରକାଶ କରିଥିଲେ । ୧୯୨୪-୨୫ ମସିହାରେ ବୋଷଙ୍କ ସହିତ ଗବେଷଣା କରି ଆଇନଷ୍ଟାଇନ୍ ପରମାଣୁମାନଙ୍କ ପାଇଁ ସର୍ବ ସ୍ୱୀକାର୍ଯ୍ୟ ତଥ୍ୟ ପ୍ରକାଶ କଲେ । ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ସମୟରେ କେତୋଟି କଣିକା ବୋଷ୍-ଆଇନଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ଶକ୍ତି ସ୍ତର iରେ ରହିପାରିବେ ତାହା ନିମ୍ନ ସମୀକରଣରୁ ଜାଣିହେବ :

$n_i({\epsilon }_i)=\frac{g_i}{e^{({\epsilon }_i-\mu )/kT}-1}$

ଏହି ସମୀକରଣରେ ଛାଞ୍ଚ:Math, ଛାଞ୍ଚ:Math ଶକ୍ତିସ୍ତରରେ କେତୋଟି କଣିକା ରହିଛନ୍ତି ତାହାର ମାପ ହେଉଛି ଛାଞ୍ଚ:Math, ଛାଞ୍ଚ:Math ହେଉଛି ଛାଞ୍ଚ:Math ସ୍ତରରେ ରହିଥିବା କଣିକାଙ୍କ ପାଇଁ କ୍ଷୟଶୀଳ ଶକ୍ତିସ୍ତର, ଛାଞ୍ଚ:Math ହେଲା iତମ ଅବସ୍ଥାର ଶକ୍ତି, μ ହେଉଛି ରାସାୟନିକ ବିଭବ, k ବୋଲ୍ଜମ୍ୟାନ୍ ସ୍ଥିରାଙ୍କ ଓ T ତାପମାତ୍ରାର ସୂଚକ ।

ଫର୍ମି-ଡିରାକ୍ କଣିକା ଶକ୍ତି ବିତରଣର ନିୟମର ମଧ୍ୟ ଏହା ସହିତ ତୁଳନୀୟ । କେତୋଟି ଫର୍ମିୟନ୍ ${ϵ}_i$ ଶକ୍ତିସ୍ତରରେ ରହିବେ ତାହା ନିମ୍ନଲିଖିତ ଫର୍ମି-ଡିରାକ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନରୁ ଜାଣିହେବ ।

${\overline{n}}_i({ϵ}_i)=\frac{g_i}{e^{({ϵ}_i-\mu )/kT}+1}$

$kT\gg {ϵ}_i-\mu$ ହେଲେ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ସଂକ୍ଷିପ୍ତ ହୋଇ ନିମ୍ନଲିଖିତ ରେଲେ-ଜିଅନ୍ସ୍ ନିୟମ (Rayleigh–Jeans Law)ରେ ରୂପାନ୍ତରିତ ହୁଏ ।

$n_i=\frac{g_{i}kT}{{\epsilon }_i-\mu }$

ଇତିହାସ

ଢାକା ବିଶ୍ୱବିଦ୍ୟାଳୟରେ ବିକିରଣ ଓ ଅତିବାଇଗଣୀ ବିନାଶ ସମ୍ବନ୍ଧରେ ବ୍ୟାଖ୍ୟାନ ଦେଉଥିବା ବେଳେ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ନାଥ ବୋଷ ସେହି ସମୟର ପ୍ରଚଳିତ ସିଦ୍ଧାନ୍ତଗୁଡ଼ିକ ଏହି ପ୍ରଭାବ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ବୈଜ୍ଞାନିକ ପରୀକ୍ଷଣକୁ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଭାବେ ପ୍ରମାଣିତ କରୁନଥିବା କଥା ନିଜ ଛାତ୍ରମାନଙ୍କ ସମ୍ମୁଖରେ ଉପସ୍ଥାପନ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କରିଥିଲେ । ସେ ସମୟରେ ଢାକା ବା ବର୍ତ୍ତମାନର ବଙ୍ଗଳାଦେଶ ବ୍ରିଟିଶ୍ ଶାସନାଧୀନ ଭାରତର ଅଂଶ ଥିଲା । କିନ୍ତୁ ସେହିଦିନ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ନାଥ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଉପଯୋଗ କରି ଏହାର ବିଶ୍ଳେଷଣ କରିବା ବେଳେ ଏକ ଛୋଟ ଭୁଲ କରିବସିଲେ । କିନ୍ତୁ ପ୍ରୟୋଗ କରିଥିବା ସେହି ଭୁଲ ତଥ୍ୟ ଯୋଗୁଁ ସମୀକରଣର ସମାଧାନ ହୋଇଗଲା । ଏହା ସମସାମୟିକ ପରୀକ୍ଷଣର ସମର୍ଥନ ମଧ୍ୟ କରୁଥିବାରୁ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ହୃଦବୋଧ କରିଥିଲେ ଯେ ତାଙ୍କର ଭୁଲ ମଧ୍ୟରେ ହିଁ ସମାଧାନର ବାଟ ରହିଛି । ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ରଙ୍କ ମନରେ ଧାରଣା ଜାଗ୍ରତ ହେଲା ଯେ ମାକ୍ସୱେଲ୍-ବୋଲ୍ଜମ୍ୟାନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ସମସ୍ତ କ୍ଷୁଦ୍ର କଣିକା ପାଇଁ ସତ୍ୟ ନୁହେଁ । ତେଣୁ କଣିକାର ଅବସ୍ଥିତି ଓ ସଂବେଗକୁ ଗୋଟିଏ ପରିବର୍ତ୍ତନୀୟ ଅଙ୍କ ବୋଲି ବିଚାର କରି ବିଭିନ୍ନ ଅବସ୍ଥାରେ ଏକ କଣିକାକୁ ପାଇବାର ସମ୍ଭାବନା ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରିବାକୁ ଚେଷ୍ଟା କଲେ ।

ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ନିଜର ସିଦ୍ଧାନ୍ତକୁ ଏକ ଲେଖା ବା ନିବନ୍ଧ “ପ୍ଲାଂକଙ୍କ ନିୟମ ଓ ଆଲୋକ କ୍ୱାଣ୍ଟା ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ତଥ୍ୟ” (Planck's Law and the Hypothesis of Light Quanta) ଭାବେ ପ୍ରକାଶ କରିବାକୁ ଇଛ୍ଛା କଲେ । ସେ ଏହି ଲେଖାକୁ ଫିଲୋସୋଫିକାଲ୍ ମ୍ୟାଗାଜିନକୁ ପଠାଇଲେ କିନ୍ତୁ ଏହି ଲେଖାଟି ପ୍ରକାଶକଙ୍କୁ ଆକର୍ଷିତ କରିପାରିଲା ନାହିଁ । ଏଥିରେ ବିଚଳିତ ନ ହୋଇ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ନିଜ ଲେଖାଟିକୁ ଭୌତିକ ବିଜ୍ଞାନ ଜର୍ଣ୍ଣାଲ୍ (Zeitschrift für Physik)ରେ ପ୍ରକାଶ କରିବା ପାଇଁ ସମ୍ପୂର୍ଣ୍ଣ ଲିପିଟିକୁ ଆଲବର୍ଟ୍ ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନଙ୍କ ପାଖକୁ ପଠାଇଥିଲେ । ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ଏଥିରେ ନିଜର ସହମତି ଦର୍ଶାଇ ଏହି ଲେଖାଟିକୁ ଈଂରାଜୀରୁ ଜର୍ମାନ୍ ଭାଷାରେ ଅନୁବାଦ କରିଥିଲେ । ଏହା ପୂର୍ବରୁ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ମଧ୍ୟ ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ଦ୍ୱାରା ଲିଖିତ ସାଧାରଣ ଆପେକ୍ଷିକ ତତ୍ତ୍ୱକୁ ଜର୍ମାନରୁ ଈଂରାଜୀରେ ଅନୁବାଦ କରିଥିଲେ । ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ଏହି ଲେଖାର ପ୍ରକାଶ କରାଇଥିଲେ । ପରେ ନିଜର ବିଶ୍ଳେଷଣ ମଧ୍ୟ ଏଥିରେ ଯୋଡ଼ି ଏହାକୁ ସମୃଦ୍ଧ କରିଥିଲେ ଓ ଦୁହିଙ୍କ ଲେଖା ପ୍ରକାଶ କରାଇଥିଲେ । ୧୯୨୪ ମସିହାରେ ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନଙ୍କ ସମର୍ଥନ ପରେ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ରଙ୍କ ଲେଖାକୁ ଓ ଆବିଷ୍କାରକୁ ସମ୍ମାନ ମିଳିପାରିଲା ।

ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାକୁ ଉପରକୁ ଫିଙ୍ଗିଲେ ବା ଟସ୍ (Toss) କଲେ ଦୁଇଥର ମୁଣ୍ଡପଟ / ଚିତ୍ / ଚିତୁ (Head) ଆସିବାର ସମ୍ଭାବନା କେତେ ? ପ୍ରଥମ ମୁଦ୍ରାର ମୁଣ୍ଡପଟ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବନା ୧/୨ ଓ ଦ୍ୱିତୀୟ ମୁଦ୍ରାର ମୁଣ୍ଡପଟ ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବନା ମଧ୍ୟ ୧/୨ । ତେଣୁ ଦୁଇଟି ମୁଣ୍ଡପଟ ପଡ଼ିବାର ସମୁଦାୟ ସମ୍ଭାବନା ୧/୨ * ୧/୨ = ୧/୪ । ଏହି କ୍ଷେତ୍ରରେ ଦୁଇଟି ସମ୍ଭାବନା ନିରୂପଣ କରି ତାହାର ଗୁଣନଫଳ ଗଣନା କରିବାର କାରଣ ହେଉଛି ଯେ ମୁଦ୍ରା ଦୁଇଟି ଏକ ନୁହଁନ୍ତି ; ସେମାନେ ଦୁହେଁ ପରସ୍ପରଠାରୁ ଭିନ୍ନ । ସେହିଦିନ ଭାଷଣ ଦେବା ସମୟରେ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର କିନ୍ତୁ ଏକ ଛୋଟ ଭୁଲ କରିବସିଥିଲେ । ଯଦି ଗୋଟିଏ ଲେଖାଏଁ ମୁଦ୍ରାର ସମ୍ଭାବନା ନଗଣି ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାରେ କଣ ପଡ଼ିବ ତାହାକୁ ଗଣନା କରାଯାଏ ତେବେ ସମ୍ଭାବ୍ୟ ଫଳଗୁଡ଼ିକ ହେଲେ – ଦୁଇ ମୁଦ୍ରାରେ ମୁଣ୍ଡପଟ ପଡ଼ିବା, ଦୁଇମୁଦ୍ରାରେ ଲାଞ୍ଜପଟ ପଡ଼ିବା ଓ ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାରେ ପରସ୍ପରଠାରୁ ଅଲଗା ପଟ ପଡ଼ିବା । ତିନୋଟି ସମ୍ଭାବନା ହେତୁ ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରାରେ ମୁଣ୍ଡପଟ ଆସିବାର ସମ୍ଭାବନା ୧/୩ । ଯଦି ଦୁଇଟି ମୁଦ୍ରା ଯେକୌଣସି ପ୍ରକୃତିରେ ପରସ୍ପରଠାରୁ ଭିନ୍ନ ହୁଅନ୍ତି ତେବେ ପ୍ରଥମ ଉପାୟ ମୁଣ୍ଡପଟ ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବନା ଦର୍ଶାଇବ । କିନ୍ତୁ ଯଦି ମୁଦ୍ରାଦ୍ୱୟ କୌଣସି ପ୍ରକୃତିରେ ଭିନ୍ନ ନୁହଁନ୍ତି ତେବେ ଦ୍ୱିତୀୟ ଉପାୟ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ହେବ । ଏହି ଉଦାହରଣରେ ମୁଦ୍ରାଗୁଡ଼ିକୁ କଣିକାମାନଙ୍କଦ୍ୱାରା ବଦଳାଇ ଦିଆଯାଉ । ଫୋଟୋନ୍ ପରି କଣିକାମାନେ ପରସ୍ପରଠାରୁ ଅଭିନ୍ନ ନୁହଁନ୍ତି । ସମାନ ଶକ୍ତି ସ୍ତରରେ ଥିବା ଦୁଇଟି ଫୋଟୋନ୍ ଦୁଇଟି “ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଫୋଟୋନ୍” ବୋଲି କହିହେବନାହିଁ । ତେଣୁ ଅନ୍ୟ ଏକ ଗ୍ରହରେ ରହିଥିବା ଫୋଟୋନ୍ ଯଦି ଏକ ମୁଦ୍ରା ଓ ଆମ ପରୀକ୍ଷାଗାରରେ ସୃଷ୍ଟ ଫୋଟୋନ୍ ଯଦି ଅନ୍ୟ ଏକ ମୁଦ୍ରା, ତେବେ ପ୍ରକୃତରେ ଦୁଇଟି ମୁଣ୍ଡପଟ ପଡ଼ିବାର ସମ୍ଭାବନା ୧/୩ ହେବ । ପାରମ୍ପରିକ ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ମୁଦ୍ରା ଚିନ୍ତାଧାରାରେ ସମ୍ଭାବନା ୧/୨ ହେବ । ସେହି ଦିନ ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ରଙ୍କ ଏହି ଭୁଲ ପରେ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନରେ ବିକଶିତ ଓ ପ୍ରସିଦ୍ଧ ହେଲା । ସତ୍ୟେନ୍ଦ୍ର ଓ ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ଏହି ଚିନ୍ତାକୁ ପରମାଣୁ ଉପରେ ପ୍ରୟୋଗ କରି ଏହାର ପ୍ରଚାର ଓ ପ୍ରସାର କରାଇଥିଲେ । ୧୯୯୫ ମସିହାରେ ବୋଷନ୍ କଣିକାମାନଙ୍କ ଏକତ୍ରୀକରଣରେ ପ୍ରସ୍ତୁତ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ଘନପଦାର୍ଥ ବିଷୟରେ ପରୀକ୍ଷଣରୁ ଜଣା ପଡ଼ିଲା ।

ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ବିତରଣର ଦୁଇଟି ଦିଗ

ଗ୍ରାଣ୍ଡ୍ କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ଏନ୍ସେମ୍ବଲ

ପରସ୍ପର ଉପରେ ପ୍ରଭାବ ପକାଉନଥିବା ବୋଷନମାନଙ୍କ ପ୍ରମାତ୍ର ବ୍ୟବସ୍ଥାର ରୂପ ଗ୍ରାଣ୍ଡ୍ କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ଏନ୍ସେମ୍ବଲରୁ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ବିତରଣ (Bose–Einstein distribution) ଅତି ସହଜରେ ନିରୂପିତ ହୋଇପାରିବ । ଏଠାରେ ବିତରଣ ଶବ୍ଦଟି ଗାଣିତିକ ଅର୍ଥରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୋଇଛି । ଏହି ବ୍ୟବସ୍ଥାଟି T ତାପମାତ୍ରା ଓ µ ରାସାୟନିକ ବିଭବଯୁକ୍ତ ଏକ ଉତ୍ସ ସହିତ ଶକ୍ତି ଓ କଣିକା ବିନିମୟ କରିପାରେ । ପରସ୍ପର ପ୍ରତି ପ୍ରଭାବହୀନ ଥିବାରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ କଣିକା (ଯାହାର ଶକ୍ତିସ୍ତର ϵ), ଉତ୍ସ ସହିତ ସଂଲଗ୍ନ ଏକ ଉଷ୍ମାଗତିଜ ବ୍ୟବସ୍ଥା ପରି ମନେହୁଏ । କଣିକା ଦୃଷ୍ଟିକୋଣରୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ କଣିକା ନିଜେ ଏକ କ୍ଷୁଦ୍ର ଗ୍ରାଣ୍ଡ୍ କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ଏନ୍ସେମ୍ବଲ । ବୋଷନମାନଙ୍କ ପାଇଁ କଣିକାସଂଖ୍ୟା Nର କୌଣସି ସୀମା ନଥିବା ବେଳେ ଅଭିନ୍ନତା କାରଣରୁ ସର୍ବମୋଟ ଶକ୍ତିସ୍ତରକୁ Nϵ ବୋଲି ଅଭିହିତ କରାଯାଉ । ଗୋଟିଏ କଣିକାପାଇଁ ଏହି ଫଳନକୁ ଏକ ଜ୍ୟାମିତିକ ପ୍ରଗତି ଭଳି ଲେଖାଯାଇପାରିବ:

$\begin{array}{cc}𝒵& =\sum _{N=0}^{\mathrm{\infty }}\exp (N(\mu -ϵ)/k_{B}T)=\sum _{N=0}^{\mathrm{\infty }}[\exp ((\mu -ϵ)/k_{B}T){]}^N\\ & =\frac{1}{1-\exp ((\mu -ϵ)/k_{B}T)}\end{array}$

ସେହି ଅବସ୍ଥା ପାଇଁ ହାରାହାରି କଣିକା ସଂଖ୍ୟା ହେଲା :

$⟨N⟩=k_{B}T\frac{1}{𝒵}{\left(\frac{\partial 𝒵}{\partial \mu }\right)}_{V,T}=\frac{1}{\exp ((ϵ-\mu )/k_{B}T)-1}$

ଏହି ବିନ୍ୟାସ ସମସ୍ତ କଣିକାପାଇଁ ପ୍ରଯୁଜ୍ୟ ଓ ଏହି ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ବିତରଣ ସମଗ୍ର ବ୍ୟବସ୍ଥାର ଅବସ୍ଥା ଦର୍ଶାଏ । ଉତ୍ତାପର ପରିବର୍ତ୍ତନ ଯୋଗୁଁ କଣିକା ସଂଖ୍ୟାର ପରିବର୍ତ୍ତନ ନିରୂପଣ କରିବା ପାଇଁ ନିମ୍ନ ସୂତ୍ର ପ୍ରୟୋଗ କରିହେବ :

$⟨(\mathrm{\Delta }N{)}^2⟩=k_{B}T{\left(\frac{d⟨N⟩}{d\mu }\right)}_{V,T}=⟨N^2⟩-⟨N{⟩}^2$

ପରସ୍ପଠାରୁ ଭିନ୍ନ କଣିକାପାଇଁ କଣିକାସଂଖ୍ୟାର ପରିବର୍ତ୍ତନର ମାତ୍ରା ଅଧିକ ଓ ତାହା ନିର୍ଣ୍ଣୟ କରିବାର ସୂତ୍ରକୁ ପଇଜନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ (Poisson statistics) କୁହାଯାଏ ।

$⟨(\mathrm{\Delta }N{)}^2⟩=⟨N{⟩}^2$

କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ପଦ୍ଧତି

କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ପଦ୍ଧତିର ବିନିଯୋଗରେ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ସୂତ୍ର ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରିହେବ । ଏହି ପଦ୍ଧତି ଦୀର୍ଘତର ଏବଂ ଶେଷରେ ଗ୍ରାଣ୍ଡ୍ କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ଏନ୍ସେମ୍ବଲର ଗଣନା ସହିତ ସମାନ ହୁଏ । ଏକ କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ଏନ୍ସେମ୍ବଲରେ ବୋଷନମାନଙ୍କ ସଂଖ୍ୟା ସୀମିତ । ଡାରୱିନ୍-ଫାଉଲର୍, ମ୍ୟୁଲର୍-କିର୍ଷ୍ଟେନ୍, ଡିଂଗଲ୍ ଆଦିଙ୍କଦ୍ୱାରା କରାଯାଇଥିବା ଗାଣିତିକ ବିଶ୍ଳେଷଣର ବ୍ୟବହାର କରି କ୍ୟାନୋନିକାଲ୍ ବ୍ୟବସ୍ଥାରେ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ପ୍ରକାଶ କରାଯାଇପାରିବ । ମନେ କରାଯାଉ $i$ ସଂଖ୍ୟକ ଶକ୍ତିସ୍ତର ରହିଛି, ପ୍ରତ୍ୟେକ ଶକ୍ତିସ୍ତରର ଶକ୍ତି ହେଲା ${\epsilon }_i$ ଓ ସମୁଦାୟ $n_i$ଟି କଣିକା ରହିଛି । ମନେ କରାଯାଉ ପ୍ରତ୍ୟେକ ସ୍ତରରେ $g_i$ ଗୋଟି ଭିନ୍ନ ଭିନ୍ନ ଉପସ୍ତର ରହିଛି । ଏହି ସମସ୍ତ ଉପସ୍ତର ଶକ୍ତି ସମାନ ଓ ସେମାନେ ସହଜରେ ବାରି ହୋଇପାରିବେ । ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ ସମାନ ଶକ୍ତିଥିବା ଦୁଇଟି କଣିକାର ସଂବେଗ ଭିନ୍ନ, ତେଣୁ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ପ୍ରକୃତିରେ ଭିନ୍ନତା ଯୋଗୁଁ ସେମାନଙ୍କୁ ଆମେ ସହଜରେ ବାରି ପାରିବା । $i$ ସ୍ତରରେ $g_i$ର ପରିମାଣକୁ ସେହି ସ୍ତରର କ୍ଷୟଶୀଳତା କୁହାଯାଉ । ଏକ ସମୟରେ ଅନେକ ବୋଷନ୍ ଏକ ନିର୍ଦ୍ଦିଷ୍ଟ ଉପସ୍ତରେ ରହିପାରିବେ । ପୁଣି, ମନେ କରାଯାଉ ଯେ $n$ କଣିକାକୁ $g$ ଉପସ୍ତରରେ $w(n,g)$ ପ୍ରକାର ଉପାୟରେ ବିତରଣ ବା ବିନ୍ୟାସ କରି ରଖାଯାଇପାରିବ । $n$ ଗୋଟି କଣିକାକୁ ଗୋଟିଏ ଉପସ୍ତରରେ କେବଳ ଗୋଟିଏ ପ୍ରକାରର ବିତରଣରେ ରଖାଯାଇପାରିବ ; ତେଣୁ $w(n,1)=1$ । ୨ଟି ଉପସ୍ତରରେ $n$ଟି କଣିକାର $(n+1)$ ପ୍ରକାରର ବିତରଣ $n$କୁ ନିମ୍ନ ଆକାରରେ ଲେଖାଯାଇପାରିବ :

$w(n,2)=\frac{(n+1)!}{n!1!}$

୩ଟି ଉପସ୍ତରରେ $n$ କଣିକାର ଯେତୋଟି ଉପାୟରେ ବିତରଣ ହୋଇପାରିବ, ତାହା ହେଲା :

$w(n,3)=w(n,2)+w(n-1,2)+\cdots +w(1,2)+w(0,2)$

ଯେପରିକି

$w(n,3)=\sum _{k=0}^{n}w(n-k,2)=\sum _{k=0}^n\frac{(n-k+1)!}{(n-k)!1!}=\frac{(n+2)!}{n!2!}$

ଏଠାରେ ଦ୍ୱିପଦ ଗୁଣାଙ୍କ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ନିମ୍ନ ସିଦ୍ଧାନ୍ତର ଆମେ ବ୍ୟବହାର କରିଛେ :

$\sum _{k=0}^n\frac{(k+a)!}{k!a!}=\frac{(n+a+1)!}{n!(a+1)!}.$

ଏହି ପ୍ରଣାଳୀକୁ ଆଗକୁ ବଢ଼ାଇଲେ ଆମେ ଜାଣିବା ଯେ $w(n,g)$ କେବଳ ଏକ ଦ୍ୱିପଦ ଗୁଣାଙ୍କ ନୁହେଁ ।

$w(n,g)=\frac{(n+g-1)!}{n!(g-1)!}$

ଉଦାହରଣ ସ୍ୱରୂପ ୨ଟି କଣିକା ୩ଟି ଉପସ୍ତରରେ ରହିବାର ବିଭିନ୍ନ ସମ୍ଭାବନା ହେଲା – ୨୦୦, ୧୧୦, ୧୦୧, ୦୨୦, ୦୧୧ ଓ ୦୦୨ । ତେଣୁ ୪!/(୨!୨!) = ୬ଟି ସମ୍ଭାବନା ରହିଛି । ଏପରି $n_i$ ଅବସ୍ଥିତିର ପୁରା ବିନ୍ୟାସ ଜାଣିବାକୁ ପ୍ରତ୍ୟେକ ଉପସ୍ତର କଣିକାମାନଙ୍କଦ୍ୱାରା କିପରି ପୂର୍ଣ୍ଣ ହୁଏ ତାହାର ଗୁଣନଫଳ ବାହାର କରିବାକୁ ହେବ ।

$W=\prod _{i}w(n_i,g_i)=\prod _i\frac{(n_i+g_i-1)!}{n_i!(g_i-1)!}\approx \prod _i\frac{(n_i+g_i)!}{n_i!(g_i)!}$

ଏଠାରେ $n_i\gg 1$କୁ ଆଧାର କରି ଉପରୋକ୍ତ ସୂତ୍ର ଧାର୍ଯ୍ୟ ହୋଇଛି ।

କଣିକାସଂଖ୍ୟା ଓ ଶକ୍ତିର ପରିମାଣ ସୀମିତ ରଖି ଏବଂ ମ୍ୟାକ୍ସୱେଲ୍-ବୋଲ୍ଜମ୍ୟାନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନରେ ବ୍ୟବହୃତ ପଦ୍ଧତିର ଉପଯୋଗ କରି $n_i$ର ଏକ ସେଟ୍ ନିର୍ଦ୍ଧାରଣ କରାଯାଇପାରିବ, ଯେଉଁଥିରେ Wର ପରିମାଣ ସର୍ବାଧିକ ହେବ । $n_i$ର ସେହି ସମାନ ପରିମାଣ ବେଳେ $W$ ଓ $\ln (W)$ର ଏହି ସର୍ବାଧିକ ମାନ ପରିଲକ୍ଷିତ ହେବ । ଲାଂଗ୍ରାଞ୍ଜ୍ ଗୁଣକର ବ୍ୟବହାର କରି ଏହି ଫଳନକୁ ଲେଖିଲେ :

$f(n_i)=\ln (W)+\alpha (N-\sum n_i)+\beta (E-\sum n_i{\epsilon }_i)$

$n_i\gg 1$ ହେଲେ ଓ ଷ୍ଟରଲିଂଗ୍ ସନ୍ନିକଟତା ବ୍ୟବହାର କଲେ $(x!\approx x^x{e}^{-x}\sqrt{2\pi x})$ ନିମ୍ନ ଲିଖିତ ଉତ୍ତର ମିଳିବ

$f(n_i)=\sum _i(n_i+g_i)\ln (n_i+g_i)-n_i\ln (n_i)+\alpha (N-\sum n_i)+\beta (E-\sum n_i{\epsilon }_i)+K.$

ଏଠାରେ K ହେଉଛି $n_i$ର ଫଳନ ହୋଇନଥିବା ସଂଖ୍ୟାଙ୍କ ସମଷ୍ଟି । $n_i$କୁ ଭିତ୍ତି କରି ଡେରିଭେଟିଭ୍ ବାହାର କଲେ, ପ୍ରାପ୍ତ ଫଳର ମୂଲ୍ୟ ଶୂନ ହେଲେ ଓ $n_i$କୁ ସମାଧାନ କଲେ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ସଂଖ୍ୟାମାନ ପ୍ରାପ୍ତ କରିହେବ ।

$n_i=\frac{g_i}{e^{\alpha +\beta {\epsilon }_i}-1}$

ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନର ପ୍ରୟୋଗ

ଏକ ସମ୍ଭାବନାର ପରିସଂଖ୍ୟାନ ସମ୍ପର୍କିତ ତତ୍ତ୍ୱ ହୋଇଥିବାରୁ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ଅନେକ କ୍ଷେତ୍ରରେ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ । - ତଥ୍ୟ ପୁନରୁଦ୍ଧାର କରିବା ପାଇଁ ବ୍ୟବହୃତ ପଦ୍ଧତି ଏହି ପରିସଂଖ୍ୟାନର ବ୍ୟବହାର କରେ ଓ ଅନିୟମିତତାରୁ ଅପସରଣ (Divergence From Randomness - DFR) ମଡେଲ୍ ଗୁଡ଼ିକରେ ଏହା ଏହା ବିଶେଷ ଭାବେ ସହାୟକ ହୋଇଥାଏ । - ୱଲ୍ଡ୍ ୱାଇଡ୍ ୱେବ୍ (WWW) ଓ ବ୍ୟବସାୟ ସମ୍ବନ୍ଧୀୟ ଅନେକ ଜଟିଳ ବ୍ୟବସ୍ଥାରେ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ଘନୀକରଣର ନେଟୱର୍କ୍ ତତ୍ତ୍ୱ ଓ ବୋଷ-ଆଇନ୍‌ଷ୍ଟାଇନ୍ ପରିସଂଖ୍ୟାନ ବ୍ୟବହୃତ ହୁଏ ।